Trojúhelník 3 8 9
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 3 b = 8 c = 9Obsah trojúhelníku: S = 11,83221595662
Obvod trojúhelníku: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10
Úhel ∠ A = α = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Úhel ∠ B = β = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 1,06884520891 rad
Úhel ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,88881063775
Výška trojúhelníku: vb = 2,95880398915
Výška trojúhelníku: vc = 2,62993687925
Těžnice: ta = 8,38215273071
Těžnice: tb = 5,38551648071
Těžnice: tc = 4,03111288741
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,18332159566
Poloměr opsané kružnice: R = 4,56438329755
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[1,44444444444; 2,62993687925]
Těžiště: T[3,48114814815; 0,87664562642]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -0,76106388293]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,18332159566]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ B' = β' = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 1,06884520891 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=8 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+8+9=20
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=220=10
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10(10−3)(10−8)(10−9) S=140=11,83
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 11,83=7,89 vb=b2 S=82⋅ 11,83=2,96 vc=c2 S=92⋅ 11,83=2,63
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−32)=19°11′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 932+92−82)=61°13′4" γ=180°−α−β=180°−19°11′17"−61°13′4"=99°35′39"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1011,83=1,18
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,183⋅ 103⋅ 8⋅ 9=4,56
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−32=8,382 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 32−82=5,385 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 82−92=4,031
Vypočítat další trojúhelník