Trojúhelník 3 8 9




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 3   b = 8   c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 11,83221595662
Obvod trojúhelníku: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10

Úhel ∠ A = α = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Úhel ∠ B = β = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 1,06884520891 rad
Úhel ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad

Výška trojúhelníku: va = 7,88881063775
Výška trojúhelníku: vb = 2,95880398915
Výška trojúhelníku: vc = 2,62993687925

Těžnice: ta = 8,38215273071
Těžnice: tb = 5,38551648071
Těžnice: tc = 4,03111288741

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,18332159566
Poloměr opsané kružnice: R = 4,56438329755

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[1,44444444444; 2,62993687925]
Těžiště: T[3,48114814815; 0,87664562642]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -0,76106388293]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,18332159566]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ B' = β' = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 1,06884520891 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=8 c=9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=3+8+9=20

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=220=10

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=10(103)(108)(109) S=140=11,83

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=32 11,83=7,89 vb=b2 S=82 11,83=2,96 vc=c2 S=92 11,83=2,63

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 8 982+9232)=19°1117"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 3 932+9282)=61°134" γ=180°αβ=180°19°1117"61°134"=99°3539"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1011,83=1,18

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,183 103 8 9=4,56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 82+2 9232=8,382 tb=22c2+2a2b2=22 92+2 3282=5,385 tc=22a2+2b2c2=22 32+2 8292=4,031

Vypočítat další trojúhelník