Trojúhelník 3 9 10

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 3 b = 9 c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 13,26664991614
Obvod trojúhelníku: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Úhel ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Úhel ∠ B = β = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 1,08552782045 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,67219292858° = 100°40'19″ = 1,75770566304 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 8,84443327743
Výška trojúhelníku: v_b = 2,94881109248
Výška trojúhelníku: v_c = 2,65332998323

Těžnice: t_a = 9,3944147114
Těžnice: t_b = 5,85223499554
Těžnice: t_c = 4,4722135955

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,20660453783
Poloměr opsané kružnice: R = 5,08880039397

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[1,4; 2,65332998323]
Těžiště: T[3,8; 0,88444332774]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -0,94222229518]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,20660453783]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 1,08552782045 rad
∠ C' = γ' = 79,32880707142° = 79°19'41″ = 1,75770566304 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 9 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 9 + 10 = 22

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 2}{2} = 11

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11 (11 - 3) (11 - 9) (11 - 10) S = 176 = 13, 27

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{3} = 8, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{9} = 2, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{1 0} = 2, 65

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 0}) = 62 ° 1 0^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 62 ° 1 0^{'} 55 " = 100 ° 4 0^{'} 19 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 2 7}{1 1} = 1, 21

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 2 0 6 \cdot 1 1} = 5, 09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 9, 394 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 5, 852 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 4, 472

Vypočítat další trojúhelník