Trojúhelník 3 9 11

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 9
c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 11,05438454847
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 12,90435205392° = 12°54'13″ = 0,22552089185 rad
Úhel ∠ B = β = 42,06216646665° = 42°3'42″ = 0,73441145373 rad
Úhel ∠ C = γ = 125,03548147943° = 125°2'5″ = 2,18222691978 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 7,36992303231
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 2,45664101077
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,01097900881

Těžnice: t_a = 9,93773034572
Těžnice: t_b = 6,69895440801
Těžnice: t_c = 3,84105728739

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,96112039552
Poloměr opsané kružnice: R = 6,71771194045

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[2,22772727273; 2,01097900881]
Těžiště: T[4,40990909091; 0,67699300294]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -3,85661241026]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,96112039552]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,09664794608° = 167°5'47″ = 0,22552089185 rad
∠ B' = β' = 137,93883353335° = 137°56'18″ = 0,73441145373 rad
∠ C' = γ' = 54,96551852057° = 54°57'55″ = 2,18222691978 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 3 b = 9 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3 + 9 + 11 = 23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 3) (11, 5 - 9) (11, 5 - 11) S = 122, 19 = 11, 05

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 , 0 5}{3} = 7, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 , 0 5}{9} = 2, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 , 0 5}{1 1} = 2, 01

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1}) = 12 ° 5 4^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 1}) = 42 ° 3^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 5 4^{'} 13 " - 42 ° 3^{'} 42 " = 125 ° 2^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 , 0 5}{1 1 , 5} = 0, 96

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 1 1}{4 \cdot 0 , 9 6 1 \cdot 1 1 , 5} = 6, 72

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 9, 937 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 6, 69 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 3, 841

Vypočítat další trojúhelník