Trojúhelník 4 10 10




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 4   b = 10   c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 19,59659179423
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12

Úhel ∠ A = α = 23,07439180656° = 23°4'26″ = 0,40327158416 rad
Úhel ∠ B = β = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad

Výška trojúhelníku: va = 9,79879589711
Výška trojúhelníku: vb = 3,91991835885
Výška trojúhelníku: vc = 3,91991835885

Těžnice: ta = 9,79879589711
Těžnice: tb = 5,74545626465
Těžnice: tc = 5,74545626465

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,63329931619
Poloměr opsané kružnice: R = 5,10331036308

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[0,8; 3,91991835885]
Těžiště: T[3,6; 1,30663945295]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 1,02106207262]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,63329931619]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,92660819344° = 156°55'34″ = 0,40327158416 rad
∠ B' = β' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=10 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+10+10=24

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=224=12

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=12(124)(1210)(1210) S=384=19,6

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=42 19,6=9,8 vb=b2 S=102 19,6=3,92 vc=c2 S=102 19,6=3,92

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 10102+10242)=23°426"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 4 1042+102102)=78°2747" γ=180°αβ=180°23°426"78°2747"=78°2747"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1219,6=1,63

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,633 124 10 10=5,1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 10242=9,798 tb=22c2+2a2b2=22 102+2 42102=5,745 tc=22a2+2b2c2=22 42+2 102102=5,745

Vypočítat další trojúhelník