Trojúhelník 4 10 11
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 10 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 19,96108992783
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 21,28799664684° = 21°16'48″ = 0,37114054796 rad
Úhel ∠ B = β = 65,13767118331° = 65°8'12″ = 1,13768500854 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,58333216985° = 93°35' = 1,63333370886 rad
Výška trojúhelníku: va = 9,98804496392
Výška trojúhelníku: vb = 3,99221798557
Výška trojúhelníku: vc = 3,62992544142
Těžnice: ta = 10,32198837203
Těžnice: tb = 6,59554529791
Těžnice: tc = 5,26878268764
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,59768719423
Poloměr opsané kružnice: R = 5,51107737615
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[1,68218181818; 3,62992544142]
Těžiště: T[4,22772727273; 1,21097514714]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -0,34444233601]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,59768719423]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,72200335316° = 158°43'12″ = 0,37114054796 rad
∠ B' = β' = 114,86332881669° = 114°51'48″ = 1,13768500854 rad
∠ C' = γ' = 86,41766783015° = 86°25' = 1,63333370886 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=10 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+10+11=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−4)(12,5−10)(12,5−11) S=398,44=19,96
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 19,96=9,98 vb=b2 S=102⋅ 19,96=3,99 vc=c2 S=112⋅ 19,96=3,63
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−42)=21°16′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−102)=65°8′12" γ=180°−α−β=180°−21°16′48"−65°8′12"=93°35′
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,519,96=1,6
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,597⋅ 12,54⋅ 10⋅ 11=5,51
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 112−42=10,32 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 42−102=6,595 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 102−112=5,268
Vypočítat další trojúhelník