Trojúhelník 4 10 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 4 b = 10 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 18,73549939952
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Úhel ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Úhel ∠ C = γ = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,92883674304 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 9,36774969976
Výška trojúhelníku: v_b = 3,7476998799
Výška trojúhelníku: v_c = 3,12224989992

Těžnice: t_a = 10,86327804912
Těžnice: t_b = 7,41661984871
Těžnice: t_c = 4,69904157598

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,44111533842
Poloměr opsané kružnice: R = 6,40551261522

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[2,5; 3,12224989992]
Těžiště: T[4,83333333333; 1,04108329997]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -2,24217941533]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,44111533842]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,92883674304 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 10 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 10 + 12 = 26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 4) (13 - 10) (13 - 12) S = 351 = 18, 73

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 , 7 3}{4} = 9, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 , 7 3}{1 0} = 3, 75 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 , 7 3}{1 2} = 3, 12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 18 ° 1 1^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 2}) = 51 ° 1 9^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 1 1^{'} 42 " - 51 ° 1 9^{'} 4 " = 110 ° 2 9^{'} 14 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 , 7 3}{1 3} = 1, 44

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 1 0 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 4 4 1 \cdot 1 3} = 6, 41

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 10, 863 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 416 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 4, 69

Vypočítat další trojúhelník