Trojúhelník 4 10 13
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 10 c = 13Obsah trojúhelníku: S = 14,98112382666
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 13,3255367656° = 13°19'31″ = 0,23325715396 rad
Úhel ∠ B = β = 35,18438154883° = 35°11'2″ = 0,61440734237 rad
Úhel ∠ C = γ = 131,49108168557° = 131°29'27″ = 2,29549476903 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,49106191333
Výška trojúhelníku: vb = 2,99662476533
Výška trojúhelníku: vc = 2,30548058872
Těžnice: ta = 11,42436596588
Těžnice: tb = 8,21658383626
Těžnice: tc = 3,96986269666
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,11097213531
Poloměr opsané kružnice: R = 8,67875203549
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[3,26992307692; 2,30548058872]
Těžiště: T[5,42330769231; 0,76882686291]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -5,74988572351]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,11097213531]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,6754632344° = 166°40'29″ = 0,23325715396 rad
∠ B' = β' = 144,81661845117° = 144°48'58″ = 0,61440734237 rad
∠ C' = γ' = 48,50991831443° = 48°30'33″ = 2,29549476903 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=10 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+10+13=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−4)(13,5−10)(13,5−13) S=224,44=14,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 14,98=7,49 vb=b2 S=102⋅ 14,98=3 vc=c2 S=132⋅ 14,98=2,3
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−42)=13°19′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1342+132−102)=35°11′2" γ=180°−α−β=180°−13°19′31"−35°11′2"=131°29′27"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,514,98=1,11
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,11⋅ 13,54⋅ 10⋅ 13=8,68
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 132−42=11,424 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 42−102=8,216 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 102−132=3,969
Vypočítat další trojúhelník