Trojúhelník 4 12 13

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 4 b = 12 c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 23,89442984831
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 17,83986287523° = 17°50'19″ = 0,31113428058 rad
Úhel ∠ B = β = 66,78219922566° = 66°46'55″ = 1,16655656459 rad
Úhel ∠ C = γ = 95,37993789911° = 95°22'46″ = 1,66546842019 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 11,94771492416
Výška trojúhelníku: v_b = 3,98223830805
Výška trojúhelníku: v_c = 3,67660459205

Těžnice: t_a = 12,34990890352
Těžnice: t_b = 7,51766481892
Těžnice: t_c = 6,14441028637

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,6487882654
Poloměr opsané kružnice: R = 6,5298754134

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[1,57769230769; 3,67660459205]
Těžiště: T[4,8598974359; 1,22553486402]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -0,61220707001]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,6487882654]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,16113712478° = 162°9'41″ = 0,31113428058 rad
∠ B' = β' = 113,21880077434° = 113°13'5″ = 1,16655656459 rad
∠ C' = γ' = 84,62106210089° = 84°37'14″ = 1,66546842019 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 12 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 12 + 13 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 4) (14, 5 - 12) (14, 5 - 13) S = 570, 94 = 23, 89

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 8 9}{4} = 11, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 8 9}{1 2} = 3, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 8 9}{1 3} = 3, 68

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}) = 17 ° 5 0^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 3}) = 66 ° 4 6^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 5 0^{'} 19 " - 66 ° 4 6^{'} 55 " = 95 ° 2 2^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 8 9}{1 4 , 5} = 1, 65

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 1 2 \cdot 1 3}{4 \cdot 1 , 6 4 8 \cdot 1 4 , 5} = 6, 53

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 12, 349 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 7, 517 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 6, 144

Vypočítat další trojúhelník