Trojúhelník 4 4 7




Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 4   b = 4   c = 7

Obsah trojúhelníku: S = 6,77877208559
Obvod trojúhelníku: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5

Úhel ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ B = β = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ C = γ = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 2,1310871633 rad

Výška trojúhelníku: va = 3,38988604279
Výška trojúhelníku: vb = 3,38988604279
Výška trojúhelníku: vc = 1,93664916731

Těžnice: ta = 5,3398539126
Těžnice: tb = 5,3398539126
Těžnice: tc = 1,93664916731

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,90436961141
Poloměr opsané kružnice: R = 4,1311182236

Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[3,5; 1,93664916731]
Těžiště: T[3,5; 0,64554972244]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; -2,19546905629]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 0,90436961141]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ C' = γ' = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 2,1310871633 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=4 c=7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+4+7=15

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=215=7,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=7,5(7,54)(7,54)(7,57) S=45,94=6,78

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=42 6,78=3,39 vb=b2 S=42 6,78=3,39 vc=c2 S=72 6,78=1,94

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 4 742+7242)=28°5718"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 4 742+7242)=28°5718" γ=180°αβ=180°28°5718"28°5718"=122°524"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=7,56,78=0,9

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 0,904 7,54 4 7=4,13

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 42+2 7242=5,339 tb=22c2+2a2b2=22 72+2 4242=5,339 tc=22a2+2b2c2=22 42+2 4272=1,936

Vypočítat další trojúhelník