Trojúhelník 4 5 7
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 5 c = 7Obsah trojúhelníku: S = 9,79879589711
Obvod trojúhelníku: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8
Úhel ∠ A = α = 34,048773237° = 34°2'52″ = 0,59442450327 rad
Úhel ∠ B = β = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Úhel ∠ C = γ = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,77221542476 rad
Výška trojúhelníku: va = 4,89989794856
Výška trojúhelníku: vb = 3,91991835885
Výška trojúhelníku: vc = 2,79994168489
Těžnice: ta = 5,74545626465
Těžnice: tb = 5,1233475383
Těžnice: tc = 2,87222813233
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,22547448714
Poloměr opsané kružnice: R = 3,57221725416
Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[2,85771428571; 2,79994168489]
Těžiště: T[3,28657142857; 0,93331389496]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; -0,71444345083]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,22547448714]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,952226763° = 145°57'8″ = 0,59442450327 rad
∠ B' = β' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ C' = γ' = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,77221542476 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=5 c=7
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+5+7=16
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=216=8
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8(8−4)(8−5)(8−7) S=96=9,8
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 9,8=4,9 vb=b2 S=52⋅ 9,8=3,92 vc=c2 S=72⋅ 9,8=2,8
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−42)=34°2′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 742+72−52)=44°24′55" γ=180°−α−β=180°−34°2′52"−44°24′55"=101°32′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=89,8=1,22
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,225⋅ 84⋅ 5⋅ 7=3,57
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 72−42=5,745 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 42−52=5,123 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 52−72=2,872
Vypočítat další trojúhelník