Trojúhelník 4 7 7

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 4 b = 7 c = 7

Obsah trojúhelníku: S = 13,4166407865
Obvod trojúhelníku: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9

Úhel ∠ A = α = 33,2033099198° = 33°12'11″ = 0,58795034029 rad
Úhel ∠ B = β = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,28110446254 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,28110446254 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 6,70882039325
Výška trojúhelníku: v_b = 3,833325939
Výška trojúhelníku: v_c = 3,833325939

Těžnice: t_a = 6,70882039325
Těžnice: t_b = 4,5
Těžnice: t_c = 4,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,4910711985
Poloměr opsané kružnice: R = 3,65222443632

Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[1,14328571429; 3,833325939]
Těžiště: T[2,71442857143; 1,278775313]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; 1,04334983895]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2; 1,4910711985]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,7976900802° = 146°47'49″ = 0,58795034029 rad
∠ B' = β' = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,28110446254 rad
∠ C' = γ' = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,28110446254 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 7 c = 7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 7 + 7 = 18

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8}{2} = 9

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9 (9 - 4) (9 - 7) (9 - 7) S = 180 = 13, 42

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4 2}{4} = 6, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4 2}{7} = 3, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4 2}{7} = 3, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 7}) = 33 ° 1 2^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7}) = 73 ° 2 3^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 1 2^{'} 11 " - 73 ° 2 3^{'} 54 " = 73 ° 2 3^{'} 54 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 4 2}{9} = 1, 49

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 7}{4 \cdot 1 , 4 9 1 \cdot 9} = 3, 65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 6, 708 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 5 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 5

Vypočítat další trojúhelník