Trojúhelník 4 8 11
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 8 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 12,28656623753
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 16,2143633496° = 16°12'49″ = 0,28329812882 rad
Úhel ∠ B = β = 33,9487926527° = 33°56'53″ = 0,59325030921 rad
Úhel ∠ C = γ = 129,8388439977° = 129°50'18″ = 2,26661082733 rad
Výška trojúhelníku: va = 6,14328311877
Výška trojúhelníku: vb = 3,07114155938
Výška trojúhelníku: vc = 2,23437567955
Těžnice: ta = 9,40774438611
Těžnice: tb = 7,24656883731
Těžnice: tc = 3,12224989992
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,06883184674
Poloměr opsané kružnice: R = 7,16328209625
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[3,31881818182; 2,23437567955]
Těžiště: T[4,77327272727; 0,74545855985]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -4,58986821791]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,06883184674]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,7866366504° = 163°47'11″ = 0,28329812882 rad
∠ B' = β' = 146,0522073473° = 146°3'7″ = 0,59325030921 rad
∠ C' = γ' = 50,1621560023° = 50°9'42″ = 2,26661082733 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=8 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+8+11=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−4)(11,5−8)(11,5−11) S=150,94=12,29
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 12,29=6,14 vb=b2 S=82⋅ 12,29=3,07 vc=c2 S=112⋅ 12,29=2,23
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−42)=16°12′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−82)=33°56′53" γ=180°−α−β=180°−16°12′49"−33°56′53"=129°50′18"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,512,29=1,07
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,068⋅ 11,54⋅ 8⋅ 11=7,16
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−42=9,407 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 42−82=7,246 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 82−112=3,122
Vypočítat další trojúhelník