Trojúhelník 4 8 11




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 4   b = 8   c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 12,28656623753
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 16,2143633496° = 16°12'49″ = 0,28329812882 rad
Úhel ∠ B = β = 33,9487926527° = 33°56'53″ = 0,59325030921 rad
Úhel ∠ C = γ = 129,8388439977° = 129°50'18″ = 2,26661082733 rad

Výška trojúhelníku: va = 6,14328311877
Výška trojúhelníku: vb = 3,07114155938
Výška trojúhelníku: vc = 2,23437567955

Těžnice: ta = 9,40774438611
Těžnice: tb = 7,24656883731
Těžnice: tc = 3,12224989992

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,06883184674
Poloměr opsané kružnice: R = 7,16328209625

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[3,31881818182; 2,23437567955]
Těžiště: T[4,77327272727; 0,74545855985]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -4,58986821791]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,06883184674]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,7866366504° = 163°47'11″ = 0,28329812882 rad
∠ B' = β' = 146,0522073473° = 146°3'7″ = 0,59325030921 rad
∠ C' = γ' = 50,1621560023° = 50°9'42″ = 2,26661082733 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=8 c=11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+8+11=23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=223=11,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=11,5(11,54)(11,58)(11,511) S=150,94=12,29

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=42 12,29=6,14 vb=b2 S=82 12,29=3,07 vc=c2 S=112 12,29=2,23

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 8 1182+11242)=16°1249"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 4 1142+11282)=33°5653" γ=180°αβ=180°16°1249"33°5653"=129°5018"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=11,512,29=1,07

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,068 11,54 8 11=7,16

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 82+2 11242=9,407 tb=22c2+2a2b2=22 112+2 4282=7,246 tc=22a2+2b2c2=22 42+2 82112=3,122

Vypočítat další trojúhelník