Trojúhelník 4 8 9

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 4 b = 8 c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 15,99880467558
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Úhel ∠ A = α = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Úhel ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Úhel ∠ C = γ = 90,89552829866° = 90°53'43″ = 1,58664219626 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 7,99990233779
Výška trojúhelníku: v_b = 43,9995116889
Výška trojúhelníku: v_c = 3,55551215013

Těžnice: t_a = 8,27664726786
Těžnice: t_b = 5,70108771255
Těžnice: t_c = 4,44440972087

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,52436235006
Poloměr opsané kružnice: R = 4,5010549417

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[1,83333333333; 3,55551215013]
Těžiště: T[3,61111111111; 1,18550405004]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -0,07703210846]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,52436235006]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 89,10547170134° = 89°6'17″ = 1,58664219626 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 8 c = 9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 8 + 9 = 21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 4) (10, 5 - 8) (10, 5 - 9) S = 255, 94 = 16

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6}{4} = 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6}{8} = 4 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6}{9} = 3, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 9}) = 26 ° 2 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 9}) = 62 ° 4 3^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 2 3^{'} 4 " - 62 ° 4 3^{'} 13 " = 90 ° 5 3^{'} 43 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6}{1 0 , 5} = 1, 52

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 1 , 5 2 4 \cdot 1 0 , 5} = 4, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 8, 276 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 5, 701 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 4, 444

Vypočítat další trojúhelník