Trojúhelník 4 9 11
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 4 b = 9 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 16,97105627485
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12
Úhel ∠ A = α = 20,05499757242° = 20°3' = 0,35499380913 rad
Úhel ∠ B = β = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,91106332362 rad
Výška trojúhelníku: va = 8,48552813742
Výška trojúhelníku: vb = 3,77112361663
Výška trojúhelníku: vc = 3,08655568634
Těžnice: ta = 9,84988578018
Těžnice: tb = 6,94662219947
Těžnice: tc = 4,27220018727
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,41442135624
Poloměr opsané kružnice: R = 5,83436309448
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[2,54554545455; 3,08655568634]
Těžiště: T[4,51551515152; 1,02985189545]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -1,94545436483]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,41442135624]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,95500242759° = 159°57' = 0,35499380913 rad
∠ B' = β' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ C' = γ' = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,91106332362 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=9 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=4+9+11=24
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=224=12
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12(12−4)(12−9)(12−11) S=288=16,97
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 16,97=8,49 vb=b2 S=92⋅ 16,97=3,77 vc=c2 S=112⋅ 16,97=3,09
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−42)=20°3′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−92)=50°28′44" γ=180°−α−β=180°−20°3′−50°28′44"=109°28′16"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1216,97=1,41
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,414⋅ 124⋅ 9⋅ 11=5,83
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−42=9,849 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 42−92=6,946 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 92−112=4,272
Vypočítat další trojúhelník