Trojúhelník 4 9 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 4 b = 9 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 13,63658901433
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 14,62664748646° = 14°37'35″ = 0,25552801443 rad
Úhel ∠ B = β = 34,62221618397° = 34°37'20″ = 0,60442707183 rad
Úhel ∠ C = γ = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 2,2822041791 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 6,81879450716
Výška trojúhelníku: v_b = 3,03301978096
Výška trojúhelníku: v_c = 2,27326483572

Těžnice: t_a = 10,4166333328
Těžnice: t_b = 7,73298124169
Těžnice: t_c = 3,53655339059

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,09108712115
Poloměr opsané kružnice: R = 7,92202750143

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3,29216666667; 2,27326483572]
Těžiště: T[5,09772222222; 0,75875494524]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -5,17701795232]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,09108712115]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,37435251354° = 165°22'25″ = 0,25552801443 rad
∠ B' = β' = 145,37878381603° = 145°22'40″ = 0,60442707183 rad
∠ C' = γ' = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 2,2822041791 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 9 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 9 + 12 = 25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 4) (12, 5 - 9) (12, 5 - 12) S = 185, 94 = 13, 64

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 6 4}{4} = 6, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 6 4}{9} = 3, 03 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 6 4}{1 2} = 2, 27

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 2}) = 14 ° 3 7^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 2}) = 34 ° 3 7^{'} 20 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 3 7^{'} 35 " - 34 ° 3 7^{'} 20 " = 130 ° 4 5^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 6 4}{1 2 , 5} = 1, 09

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 0 9 1 \cdot 1 2 , 5} = 7, 92

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 10, 416 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 7, 73 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 3, 536

Vypočítat další trojúhelník