Trojúhelník 5 10 11

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 10 c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 24,98799919936
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 27,01222939589° = 27°44″ = 0,47114534681 rad
Úhel ∠ B = β = 65,28801488171° = 65°16'49″ = 1,13993535331 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,7087557224° = 87°42'27″ = 1,53107856524 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 9,99219967974
Výška trojúhelníku: v_b = 4,99659983987
Výška trojúhelníku: v_c = 4,54218167261

Těžnice: t_a = 10,21102889283
Těžnice: t_b = 6,92882032303
Těžnice: t_c = 5,67989083458

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,92215378457
Poloměr opsané kružnice: R = 5,5044405287

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[2,09109090909; 4,54218167261]
Těžiště: T[4,36436363636; 1,51439389087]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 0,22201762115]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,92215378457]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 152,98877060411° = 152°59'16″ = 0,47114534681 rad
∠ B' = β' = 114,72198511829° = 114°43'11″ = 1,13993535331 rad
∠ C' = γ' = 92,2922442776° = 92°17'33″ = 1,53107856524 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 10 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 10 + 11 = 26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 5) (13 - 10) (13 - 11) S = 624 = 24, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 8}{5} = 9, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 8}{1 0} = 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 8}{1 1} = 4, 54

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 27 ° 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 1}) = 65 ° 1 6^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 44 " - 65 ° 1 6^{'} 49 " = 87 ° 4 2^{'} 27 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 9 8}{1 3} = 1, 92

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 9 2 2 \cdot 1 3} = 5, 5

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 21 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 6, 928 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 5, 679

Vypočítat další trojúhelník