Trojúhelník 5 10 12
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 10 c = 12Obsah trojúhelníku: S = 24,54546022579
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Úhel ∠ B = β = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,95327841989° = 100°57'10″ = 1,76219584733 rad
Výška trojúhelníku: va = 9,81878409032
Výška trojúhelníku: vb = 4,90989204516
Výška trojúhelníku: vc = 4,0910767043
Těžnice: ta = 10,75987173957
Těžnice: tb = 7,71436243103
Těžnice: tc = 5,14878150705
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,81881186858
Poloměr opsané kružnice: R = 6,11113233135
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[2,875; 4,0910767043]
Těžiště: T[4,95883333333; 1,36435890143]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -1,16111514296]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,81881186858]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 79,04772158011° = 79°2'50″ = 1,76219584733 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=10 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+10+12=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−5)(13,5−10)(13,5−12) S=602,44=24,54
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 24,54=9,82 vb=b2 S=102⋅ 24,54=4,91 vc=c2 S=122⋅ 24,54=4,09
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12102+122−52)=24°8′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1252+122−102)=54°54′1" γ=180°−α−β=180°−24°8′49"−54°54′1"=100°57′10"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,524,54=1,82
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,818⋅ 13,55⋅ 10⋅ 12=6,11
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 122−52=10,759 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 52−102=7,714 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 102−122=5,148
Vypočítat další trojúhelník