Trojúhelník 5 10 12




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5   b = 10   c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 24,54546022579
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Úhel ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Úhel ∠ B = β = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,95327841989° = 100°57'10″ = 1,76219584733 rad

Výška trojúhelníku: va = 9,81878409032
Výška trojúhelníku: vb = 4,90989204516
Výška trojúhelníku: vc = 4,0910767043

Těžnice: ta = 10,75987173957
Těžnice: tb = 7,71436243103
Těžnice: tc = 5,14878150705

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,81881186858
Poloměr opsané kružnice: R = 6,11113233135

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[2,875; 4,0910767043]
Těžiště: T[4,95883333333; 1,36435890143]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -1,16111514296]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,81881186858]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 79,04772158011° = 79°2'50″ = 1,76219584733 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=10 c=12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=5+10+12=27

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=227=13,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=13,5(13,55)(13,510)(13,512) S=602,44=24,54

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=52 24,54=9,82 vb=b2 S=102 24,54=4,91 vc=c2 S=122 24,54=4,09

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 12102+12252)=24°849"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 5 1252+122102)=54°541" γ=180°αβ=180°24°849"54°541"=100°5710"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=13,524,54=1,82

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,818 13,55 10 12=6,11

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 12252=10,759 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 52102=7,714 tc=22a2+2b2c2=22 52+2 102122=5,148

Vypočítat další trojúhelník