Trojúhelník 5 10 14
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 10 c = 14Obsah trojúhelníku: S = 17,60550418915
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Úhel ∠ A = α = 14,56663276483° = 14°33'59″ = 0,25442303774 rad
Úhel ∠ B = β = 30,1998757023° = 30°11'56″ = 0,52770677401 rad
Úhel ∠ C = γ = 135,23549153287° = 135°14'6″ = 2,36602945361 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,04220167566
Výška trojúhelníku: vb = 3,52110083783
Výška trojúhelníku: vc = 2,51550059845
Těžnice: ta = 11,90658808998
Těžnice: tb = 9,24766210045
Těžnice: tc = 3,67442346142
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,21441408201
Poloměr opsané kružnice: R = 9,94403341997
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[4,32114285714; 2,51550059845]
Těžiště: T[6,10771428571; 0,83883353282]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -7,05876372818]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,21441408201]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,43436723517° = 165°26'1″ = 0,25442303774 rad
∠ B' = β' = 149,8011242977° = 149°48'4″ = 0,52770677401 rad
∠ C' = γ' = 44,76550846713° = 44°45'54″ = 2,36602945361 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=10 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+10+14=29
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−5)(14,5−10)(14,5−14) S=309,94=17,61
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 17,61=7,04 vb=b2 S=102⋅ 17,61=3,52 vc=c2 S=142⋅ 17,61=2,52
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 14102+142−52)=14°33′59" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1452+142−102)=30°11′56" γ=180°−α−β=180°−14°33′59"−30°11′56"=135°14′6"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=14,517,61=1,21
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,214⋅ 14,55⋅ 10⋅ 14=9,94
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 142−52=11,906 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 52−102=9,247 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 102−142=3,674
Vypočítat další trojúhelník