Trojúhelník 5 10 14




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5   b = 10   c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 17,60550418915
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 14,56663276483° = 14°33'59″ = 0,25442303774 rad
Úhel ∠ B = β = 30,1998757023° = 30°11'56″ = 0,52770677401 rad
Úhel ∠ C = γ = 135,23549153287° = 135°14'6″ = 2,36602945361 rad

Výška trojúhelníku: va = 7,04220167566
Výška trojúhelníku: vb = 3,52110083783
Výška trojúhelníku: vc = 2,51550059845

Těžnice: ta = 11,90658808998
Těžnice: tb = 9,24766210045
Těžnice: tc = 3,67442346142

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,21441408201
Poloměr opsané kružnice: R = 9,94403341997

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[4,32114285714; 2,51550059845]
Těžiště: T[6,10771428571; 0,83883353282]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -7,05876372818]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,21441408201]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,43436723517° = 165°26'1″ = 0,25442303774 rad
∠ B' = β' = 149,8011242977° = 149°48'4″ = 0,52770677401 rad
∠ C' = γ' = 44,76550846713° = 44°45'54″ = 2,36602945361 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=10 c=14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=5+10+14=29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=229=14,5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14,5(14,55)(14,510)(14,514) S=309,94=17,61

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=52 17,61=7,04 vb=b2 S=102 17,61=3,52 vc=c2 S=142 17,61=2,52

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 14102+14252)=14°3359"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 5 1452+142102)=30°1156" γ=180°αβ=180°14°3359"30°1156"=135°146"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=14,517,61=1,21

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,214 14,55 10 14=9,94

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 14252=11,906 tb=22c2+2a2b2=22 142+2 52102=9,247 tc=22a2+2b2c2=22 52+2 102142=3,674

Vypočítat další trojúhelník