Trojúhelník 5 11 11
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 11 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 26,7880356607
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 26,27331175739° = 26°16'23″ = 0,45985524064 rad
Úhel ∠ B = β = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1,34215201236 rad
Úhel ∠ C = γ = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1,34215201236 rad
Výška trojúhelníku: va = 10,71221426428
Výška trojúhelníku: vb = 4,86991557467
Výška trojúhelníku: vc = 4,86991557467
Těžnice: ta = 10,71221426428
Těžnice: tb = 6,53883484153
Těžnice: tc = 6,53883484153
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,9843730119
Poloměr opsané kružnice: R = 5,64877963389
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[1,13663636364; 4,86991557467]
Těžiště: T[4,04554545455; 1,62330519156]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,2843590077]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,9843730119]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,72768824261° = 153°43'37″ = 0,45985524064 rad
∠ B' = β' = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1,34215201236 rad
∠ C' = γ' = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1,34215201236 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=11 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+11+11=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−5)(13,5−11)(13,5−11) S=717,19=26,78
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 26,78=10,71 vb=b2 S=112⋅ 26,78=4,87 vc=c2 S=112⋅ 26,78=4,87
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−52)=26°16′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1152+112−112)=76°51′48" γ=180°−α−β=180°−26°16′23"−76°51′48"=76°51′48"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,526,78=1,98
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,984⋅ 13,55⋅ 11⋅ 11=5,65
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−52=10,712 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 52−112=6,538 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 112−112=6,538
Vypočítat další trojúhelník