Trojúhelník 5 11 13

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 11
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 26,89221456935
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 22,09331769923° = 22°5'35″ = 0,38655986807 rad
Úhel ∠ B = β = 55,83877404834° = 55°50'16″ = 0,97545524183 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,06990825244° = 102°4'9″ = 1,78114415545 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,75768582774
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,88994810352
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,13772531836

Těžnice: t_a = 11,77992189894
Těžnice: t_b = 8,17700673192
Těžnice: t_c = 5,54552682532

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,85546307375
Poloměr opsané kružnice: R = 6,6476922192

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[2,80876923077; 4,13772531836]
Těžiště: T[5,26992307692; 1,37990843945]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -1,39898110038]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,85546307375]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,90768230077° = 157°54'25″ = 0,38655986807 rad
∠ B' = β' = 124,16222595166° = 124°9'44″ = 0,97545524183 rad
∠ C' = γ' = 77,93109174756° = 77°55'51″ = 1,78114415545 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 11 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 11 + 13 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 5) (14, 5 - 11) (14, 5 - 13) S = 723, 19 = 26, 89

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 9}{5} = 10, 76 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 9}{1 1} = 4, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 9}{1 3} = 4, 14

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 22 ° 5^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 3}) = 55 ° 5 0^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 5^{'} 35 " - 55 ° 5 0^{'} 16 " = 102 ° 4^{'} 9 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 , 8 9}{1 4 , 5} = 1, 85

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 1 \cdot 1 3}{4 \cdot 1 , 8 5 5 \cdot 1 4 , 5} = 6, 65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 11, 779 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 8, 17 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 5, 545

Vypočítat další trojúhelník