Trojúhelník 5 6 6

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 6 c = 6

Obsah trojúhelníku: S = 13,63658901433
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Úhel ∠ A = α = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 0,86595508626 rad
Úhel ∠ B = β = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad
Úhel ∠ C = γ = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 5,45443560573
Výška trojúhelníku: v_b = 4,54552967144
Výška trojúhelníku: v_c = 4,54552967144

Těžnice: t_a = 5,45443560573
Těžnice: t_b = 4,63768092477
Těžnice: t_c = 4,63768092477

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,60442223698
Poloměr opsané kružnice: R = 3.33001145893

Souřadnice vrcholů: A[6; 0] B[0; 0] C[2,08333333333; 4,54552967144]
Těžiště: T[2,69444444444; 1,51550989048]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3; 1,37550477455]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,60442223698]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 0,86595508626 rad
∠ B' = β' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad
∠ C' = γ' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 6 c = 6

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 6 + 6 = 17

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 5) (8, 5 - 6) (8, 5 - 6) S = 185, 94 = 13, 64

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 6 4}{5} = 5, 45 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 6 4}{6} = 4, 55 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 6 4}{6} = 4, 55

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 6}) = 49 ° 1 4^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 6 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 6}) = 65 ° 2 2^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 1 4^{'} 55 " - 65 ° 2 2^{'} 32 " = 65 ° 2 2^{'} 32 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 6 4}{8 , 5} = 1, 6

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 6}{4 \cdot 1 , 6 0 4 \cdot 8 , 5} = 3, 3

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 5, 454 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 4, 637 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 4, 637

Vypočítat další trojúhelník