Trojúhelník 5 6 7
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 6 c = 7Obsah trojúhelníku: S = 14,69769384567
Obvod trojúhelníku: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9
Úhel ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Úhel ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad
Výška trojúhelníku: va = 5,87987753827
Výška trojúhelníku: vb = 4,89989794856
Výška trojúhelníku: vc = 4,19991252733
Těžnice: ta = 6,02107972894
Těžnice: tb = 5,29215026221
Těžnice: tc = 4,27220018727
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,63329931619
Poloměr opsané kružnice: R = 3,57221725416
Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[2,71442857143; 4,19991252733]
Těžiště: T[3,23880952381; 1.43997084244]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; 0,71444345083]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,63329931619]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=6 c=7
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+6+7=18
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=218=9
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9(9−5)(9−6)(9−7) S=216=14,7
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 14,7=5,88 vb=b2 S=62⋅ 14,7=4,9 vc=c2 S=72⋅ 14,7=4,2
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 762+72−52)=44°24′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−62)=57°7′18" γ=180°−α−β=180°−44°24′55"−57°7′18"=78°27′47"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=914,7=1,63
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,633⋅ 95⋅ 6⋅ 7=3,57
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 72−52=6,021 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 52−62=5,292 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 62−72=4,272
Vypočítat další trojúhelník