Trojúhelník 5 7 10

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 7 c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 16,24880768093
Obvod trojúhelníku: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Úhel ∠ A = α = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Úhel ∠ B = β = 40,53658021113° = 40°32'9″ = 0,70774832118 rad
Úhel ∠ C = γ = 111,80437479894° = 111°48'13″ = 1,95113435185 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 6,49992307237
Výška trojúhelníku: v_b = 4,64223076598
Výška trojúhelníku: v_c = 3,25496153619

Těžnice: t_a = 8,26113558209
Těžnice: t_b = 7,08987234394
Těžnice: t_c = 3,46441016151

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,47770978918
Poloměr opsané kružnice: R = 5,38552527303

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[3,8; 3,25496153619]
Těžiště: T[4,6; 1,08332051206]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -22,0002367284]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,47770978918]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ B' = β' = 139,46441978887° = 139°27'51″ = 0,70774832118 rad
∠ C' = γ' = 68,19662520106° = 68°11'47″ = 1,95113435185 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 7 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 7 + 10 = 22

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 2}{2} = 11

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11 (11 - 5) (11 - 7) (11 - 10) S = 264 = 16, 25

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 5}{5} = 6, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 5}{7} = 4, 64 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 5}{1 0} = 3, 25

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 0}) = 27 ° 3 9^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 0}) = 40 ° 3 2^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 3 9^{'} 38 " - 40 ° 3 2^{'} 9 " = 111 ° 4 8^{'} 13 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 , 2 5}{1 1} = 1, 48

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 4 7 7 \cdot 1 1} = 5, 39

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 8, 261 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 7, 089 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 3, 464

Vypočítat další trojúhelník