Trojúhelník 5 7 11

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 7 c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 12,96987123493
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 19,68550548247° = 19°41'6″ = 0,34435690201 rad
Úhel ∠ B = β = 28,13875265744° = 28°8'15″ = 0,49110924821 rad
Úhel ∠ C = γ = 132,17774186009° = 132°10'39″ = 2,30769311514 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 5,18774849397
Výška trojúhelníku: v_b = 3,70553463855
Výška trojúhelníku: v_c = 2,35879476999

Těžnice: t_a = 8,87441196746
Těžnice: t_b = 7,79442286341
Těžnice: t_c = 2,59880762114

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,12877141173
Poloměr opsané kružnice: R = 7,42217082936

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[4,40990909091; 2,35879476999]
Těžiště: T[5,13663636364; 0,78659825666]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -4,98331469971]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,12877141173]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,31549451753° = 160°18'54″ = 0,34435690201 rad
∠ B' = β' = 151,86224734256° = 151°51'45″ = 0,49110924821 rad
∠ C' = γ' = 47,82325813991° = 47°49'21″ = 2,30769311514 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 7 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 7 + 11 = 23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 5) (11, 5 - 7) (11, 5 - 11) S = 168, 19 = 12, 97

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 , 9 7}{5} = 5, 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 , 9 7}{7} = 3, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 , 9 7}{1 1} = 2, 36

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 1}) = 19 ° 4 1^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 1}) = 28 ° 8^{'} 15 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 4 1^{'} 6 " - 28 ° 8^{'} 15 " = 132 ° 1 0^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 , 9 7}{1 1 , 5} = 1, 13

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 1 2 8 \cdot 1 1 , 5} = 7, 42

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 8, 874 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 7, 794 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 2, 598

Vypočítat další trojúhelník