Trojúhelník 5 7 9

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 7 c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 17,41222801494
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Úhel ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Úhel ∠ B = β = 50,70435197608° = 50°42'13″ = 0,88549433622 rad
Úhel ∠ C = γ = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,6710963748 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 6,96549120597
Výška trojúhelníku: v_b = 4,97549371855
Výška trojúhelníku: v_c = 3,86993955887

Těžnice: t_a = 7,66548548584
Těžnice: t_b = 6,38435726674
Těžnice: t_c = 4,09326763859

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,65883123952
Poloměr opsané kružnice: R = 4,52326701687

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[3,16766666667; 3,86993955887]
Těžiště: T[4,05655555556; 1,29897985296]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -0,45222670169]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,65883123952]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 129,29664802392° = 129°17'47″ = 0,88549433622 rad
∠ C' = γ' = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,6710963748 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 7 c = 9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 7 + 9 = 21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 5) (10, 5 - 7) (10, 5 - 9) S = 303, 19 = 17, 41

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 , 4 1}{5} = 6, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 , 4 1}{7} = 4, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 , 4 1}{9} = 3, 87

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 9 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9}) = 33 ° 3 3^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 9}) = 50 ° 4 2^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 3 3^{'} 26 " - 50 ° 4 2^{'} 13 " = 95 ° 4 4^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 , 4 1}{1 0 , 5} = 1, 66

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 9}{4 \cdot 1 , 6 5 8 \cdot 1 0 , 5} = 4, 52

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 7, 665 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 6, 384 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 4, 093

Vypočítat další trojúhelník