Trojúhelník 5 8 10
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 5 b = 8 c = 10Obsah trojúhelníku: S = 19,81100353357
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 29,68662952314° = 29°41'11″ = 0,51881235945 rad
Úhel ∠ B = β = 52,41104970351° = 52°24'38″ = 0,91547357359 rad
Úhel ∠ C = γ = 97,90332077335° = 97°54'12″ = 1,70987333232 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,92440141343
Výška trojúhelníku: vb = 4,95325088339
Výška trojúhelníku: vc = 3,96220070671
Těžnice: ta = 8,70334475928
Těžnice: tb = 6,81990908485
Těžnice: tc = 4,41658804332
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,72326117683
Poloměr opsané kružnice: R = 5,04879465738
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[3,05; 3,96220070671]
Těžiště: T[4,35; 1,32106690224]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -0,69440926539]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,72326117683]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,31437047686° = 150°18'49″ = 0,51881235945 rad
∠ B' = β' = 127,59895029649° = 127°35'22″ = 0,91547357359 rad
∠ C' = γ' = 82,09767922665° = 82°5'48″ = 1,70987333232 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=8 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=5+8+10=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−5)(11,5−8)(11,5−10) S=392,44=19,81
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 19,81=7,92 vb=b2 S=82⋅ 19,81=4,95 vc=c2 S=102⋅ 19,81=3,96
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−52)=29°41′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1052+102−82)=52°24′38" γ=180°−α−β=180°−29°41′11"−52°24′38"=97°54′12"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,519,81=1,72
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,723⋅ 11,55⋅ 8⋅ 10=5,05
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 102−52=8,703 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 52−82=6,819 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 82−102=4,416
Vypočítat další trojúhelník