Trojúhelník 5 8 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 8
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 14,52436875483
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 17,61224390704° = 17°36'45″ = 0,30773950511 rad
Úhel ∠ B = β = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ C = γ = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 2,32988370922 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,80994750193
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,63109218871
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 2,42106145914

Těžnice: t_a = 9,88768599666
Těžnice: t_b = 8,27664726786
Těžnice: t_c = 2,91554759474

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,16218950039
Poloměr opsané kružnice: R = 8,26223644719

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[4,375; 2,42106145914]
Těžiště: T[5,45883333333; 0,80768715305]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -5,68803755744]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,16218950039]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,38875609297° = 162°23'15″ = 0,30773950511 rad
∠ B' = β' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ C' = γ' = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 2,32988370922 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 8 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 8 + 12 = 25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 5) (12, 5 - 8) (12, 5 - 12) S = 210, 94 = 14, 52

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 2}{5} = 5, 81 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 2}{8} = 3, 63 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 2}{1 2} = 2, 42

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2}) = 17 ° 3 6^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 28 ° 5 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 3 6^{'} 45 " - 28 ° 5 7^{'} 18 " = 133 ° 2 5^{'} 57 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 5 2}{1 2 , 5} = 1, 16

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 1 6 2 \cdot 1 2 , 5} = 8, 26

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 887 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 8, 276 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 2, 915

Vypočítat další trojúhelník