Trojúhelník 5 9 11

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 9 c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 22,18552991866
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 26,6277478393° = 26°37'39″ = 0,46547371695 rad
Úhel ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Úhel ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 8,87441196746
Výška trojúhelníku: v_b = 4,93300664859
Výška trojúhelníku: v_c = 4,03436907612

Těžnice: t_a = 9,7343961167
Těžnice: t_b = 7,26329195232
Těžnice: t_c = 4,77696960071

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,77548239349
Poloměr opsané kružnice: R = 5,57880180812

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[2,95545454545; 4,03436907612]
Těžiště: T[4,65215151515; 1,34545635871]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -0,93296696802]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,77548239349]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,3732521607° = 153°22'21″ = 0,46547371695 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 9 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 9 + 11 = 25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 5) (12, 5 - 9) (12, 5 - 11) S = 492, 19 = 22, 19

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 , 1 9}{5} = 8, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 , 1 9}{9} = 4, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 , 1 9}{1 1} = 4, 03

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1}) = 26 ° 3 7^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 1}) = 53 ° 4 6^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 3 7^{'} 39 " - 53 ° 4 6^{'} 42 " = 99 ° 3 5^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 , 1 9}{1 2 , 5} = 1, 77

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 7 7 5 \cdot 1 2 , 5} = 5, 58

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 734 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 7, 263 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 4, 77

Vypočítat další trojúhelník