Trojúhelník 5 9 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 9
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 20,39660780544
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 22,19216065663° = 22°11'30″ = 0,38773166009 rad
Úhel ∠ B = β = 42,83334280661° = 42°50' = 0,74875843497 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,97549653677° = 114°58'30″ = 2,0076691703 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,15884312217
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,53224617899
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,39993463424

Těžnice: t_a = 10,3087764064
Těžnice: t_b = 8,01656097709
Těžnice: t_c = 4,12331056256

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,56989290811
Poloměr opsané kružnice: R = 6,61989195609

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3,66766666667; 3,39993463424]
Těžiště: T[5,22222222222; 1,13331154475]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -2,79546549257]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,56989290811]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,80883934337° = 157°48'30″ = 0,38773166009 rad
∠ B' = β' = 137,16765719339° = 137°10' = 0,74875843497 rad
∠ C' = γ' = 65,02550346323° = 65°1'30″ = 2,0076691703 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 9 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 9 + 12 = 26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 5) (13 - 9) (13 - 12) S = 416 = 20, 4

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{5} = 8, 16 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{9} = 4, 53 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{1 2} = 3, 4

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 2}) = 22 ° 1 1^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 42 ° 5 0^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 1^{'} 30 " - 42 ° 5 0^{'} = 114 ° 5 8^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 4}{1 3} = 1, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 5 6 9 \cdot 1 3} = 6, 62

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 308 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 016 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 4, 123

Vypočítat další trojúhelník