Trojúhelník 5 9 13

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 5 b = 9 c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 16,06882139642
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Úhel ∠ A = α = 15,94223686056° = 15°56'33″ = 0,27882468227 rad
Úhel ∠ B = β = 29,63106273936° = 29°37'50″ = 0,51771520074 rad
Úhel ∠ C = γ = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 2,34661938234 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 6,42772855857
Výška trojúhelníku: v_b = 3,57107142143
Výška trojúhelníku: v_c = 2,47220329176

Těžnice: t_a = 10,89772473589
Těžnice: t_b = 8,7610707734
Těžnice: t_c = 3,27987192622

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,19902380714
Poloměr opsané kružnice: R = 9,10218205462

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[4,34661538462; 2,47220329176]
Těžiště: T[5,78220512821; 0,82440109725]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -6,37112743823]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,19902380714]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,05876313944° = 164°3'27″ = 0,27882468227 rad
∠ B' = β' = 150,36993726064° = 150°22'10″ = 0,51771520074 rad
∠ C' = γ' = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 2,34661938234 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 9 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 9 + 13 = 27

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 5) (13, 5 - 9) (13, 5 - 13) S = 258, 19 = 16, 07

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 , 0 7}{5} = 6, 43 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 , 0 7}{9} = 3, 57 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 , 0 7}{1 3} = 2, 47

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 3}) = 15 ° 5 6^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 3}) = 29 ° 3 7^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 5 6^{'} 33 " - 29 ° 3 7^{'} 50 " = 134 ° 2 5^{'} 37 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 , 0 7}{1 3 , 5} = 1, 19

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 1 3}{4 \cdot 1 , 1 9 \cdot 1 3 , 5} = 9, 1

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 897 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 761 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 3, 279

Vypočítat další trojúhelník