Trojúhelník 6 6 11
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Strany: a = 6 b = 6 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 13,18985366891
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad
Úhel ∠ B = β = 23,55664643091° = 23°33'23″ = 0,41111378623 rad
Úhel ∠ C = γ = 132,88770713818° = 132°53'13″ = 2,31993169289 rad
Výška trojúhelníku: va = 4,39661788964
Výška trojúhelníku: vb = 4,39661788964
Výška trojúhelníku: vc = 2,39879157617
Těžnice: ta = 8,33766660003
Těžnice: tb = 8,33766660003
Těžnice: tc = 2,39879157617
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,14768292773
Poloměr opsané kružnice: R = 7,50765189061
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 2,39879157617]
Těžiště: T[5,5; 0,79993052539]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -5,10986031444]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 1,14768292773]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad
∠ B' = β' = 156,44435356909° = 156°26'37″ = 0,41111378623 rad
∠ C' = γ' = 47,11329286182° = 47°6'47″ = 2,31993169289 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=6 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+6+11=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−6)(11,5−6)(11,5−11) S=173,94=13,19
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 13,19=4,4 vb=b2 S=62⋅ 13,19=4,4 vc=c2 S=112⋅ 13,19=2,4
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−62)=23°33′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−62)=23°33′23" γ=180°−α−β=180°−23°33′23"−23°33′23"=132°53′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,513,19=1,15
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,147⋅ 11,56⋅ 6⋅ 11=7,51
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 112−62=8,337 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−62=8,337 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 62−112=2,398
Vypočítat další trojúhelník