Trojúhelník 6 7 10

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 6 b = 7 c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 20,66224659709
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Úhel ∠ A = α = 36,18222872212° = 36°10'56″ = 0,63215000429 rad
Úhel ∠ B = β = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 0,76597619325 rad
Úhel ∠ C = γ = 100,28765606115° = 100°17'12″ = 1,75503306782 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 6,8877488657
Výška trojúhelníku: v_b = 5,9043561706
Výška trojúhelníku: v_c = 4,13224931942

Těžnice: t_a = 8,09332070281
Těžnice: t_b = 7,46765922615
Těžnice: t_c = 4,18333001327

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,79767361714
Poloměr opsané kružnice: R = 5,08216780605

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[4,35; 4,13224931942]
Těžiště: T[4,78333333333; 1,37774977314]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; -0,90774425108]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,79767361714]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,81877127789° = 143°49'4″ = 0,63215000429 rad
∠ B' = β' = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 0,76597619325 rad
∠ C' = γ' = 79,71334393885° = 79°42'48″ = 1,75503306782 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 7 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 7 + 10 = 23

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 6) (11, 5 - 7) (11, 5 - 10) S = 426, 94 = 20, 66

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{6} = 6, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{7} = 5, 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 6 6}{1 0} = 4, 13

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 0 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 0}) = 36 ° 1 0^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 0}) = 43 ° 3 1^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 1 0^{'} 56 " - 43 ° 3 1^{'} 52 " = 100 ° 1 7^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 6 6}{1 1 , 5} = 1, 8

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 7 9 7 \cdot 1 1 , 5} = 5, 08

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 8, 093 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 7, 467 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 4, 183

Vypočítat další trojúhelník