Trojúhelník 6 7 11

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 6 b = 7 c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 18,9743665961
Obvod trojúhelníku: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12

Úhel ∠ A = α = 29,52662652473° = 29°31'35″ = 0,51553305444 rad
Úhel ∠ B = β = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,37769335252° = 115°22'37″ = 2,01437073709 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 6,32545553203
Výška trojúhelníku: v_b = 5,42110474174
Výška trojúhelníku: v_c = 3,45497574475

Těžnice: t_a = 8,71877978871
Těžnice: t_b = 8,1399410298
Těžnice: t_c = 3,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,58111388301
Poloměr opsané kružnice: R = 6,08773844958

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[4,90990909091; 3,45497574475]
Těžiště: T[5,3033030303; 1,15499191492]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -2,60988790696]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 1,58111388301]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,47437347527° = 150°28'25″ = 0,51553305444 rad
∠ B' = β' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ C' = γ' = 64,62330664748° = 64°37'23″ = 2,01437073709 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 7 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 7 + 11 = 24

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4}{2} = 12

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12 (12 - 6) (12 - 7) (12 - 11) S = 360 = 18, 97

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 , 9 7}{6} = 6, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 , 9 7}{7} = 5, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 , 9 7}{1 1} = 3, 45

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 1 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 1}) = 29 ° 3 1^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 1}) = 35 ° 5^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 3 1^{'} 35 " - 35 ° 5^{'} 48 " = 115 ° 2 2^{'} 37 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 , 9 7}{1 2} = 1, 58

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 5 8 1 \cdot 1 2} = 6, 09

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 8, 718 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 8, 139 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 3, 5

Vypočítat další trojúhelník