Trojúhelník 6 7 9




Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 6   b = 7   c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 20,97661769634
Obvod trojúhelníku: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Úhel ∠ A = α = 41,7522205202° = 41°45'8″ = 0,72987134507 rad
Úhel ∠ B = β = 50,97771974348° = 50°58'38″ = 0,89897199387 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,27105973632° = 87°16'14″ = 1,52331592642 rad

Výška trojúhelníku: va = 6,99220589878
Výška trojúhelníku: vb = 5,99331934181
Výška trojúhelníku: vc = 4,66113726585

Těžnice: ta = 7,48333147735
Těžnice: tb = 6,80107352544
Těžnice: tc = 4,7176990566

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,90769251785
Poloměr opsané kružnice: R = 4,50551107342

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[3,77877777778; 4,66113726585]
Těžiště: T[4,25992592593; 1,55437908862]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 0,21545290826]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,90769251785]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,2487794798° = 138°14'52″ = 0,72987134507 rad
∠ B' = β' = 129,02328025652° = 129°1'22″ = 0,89897199387 rad
∠ C' = γ' = 92,72994026368° = 92°43'46″ = 1,52331592642 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=7 c=9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=6+7+9=22

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=222=11

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=11(116)(117)(119) S=440=20,98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=62 20,98=6,99 vb=b2 S=72 20,98=5,99 vc=c2 S=92 20,98=4,66

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 7 972+9262)=41°458"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 6 962+9272)=50°5838" γ=180°αβ=180°41°458"50°5838"=87°1614"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1120,98=1,91

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 1,907 116 7 9=4,51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 72+2 9262=7,483 tb=22c2+2a2b2=22 92+2 6272=6,801 tc=22a2+2b2c2=22 62+2 7292=4,717

Vypočítat další trojúhelník