Trojúhelník 6 8 11

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 6 b = 8 c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 23,4198742494
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 32,15772086093° = 32°9'26″ = 0,56112491685 rad
Úhel ∠ B = β = 45,20771662976° = 45°12'26″ = 0,78990138974 rad
Úhel ∠ C = γ = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,79113295877 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 7,8066247498
Výška trojúhelníku: v_b = 5,85546856235
Výška trojúhelníku: v_c = 4,25879531807

Těžnice: t_a = 9,13878334412
Těžnice: t_b = 7,90656941504
Těžnice: t_c = 4,44440972087

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,87334993995
Poloměr opsané kružnice: R = 5,63765110139

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[4,22772727273; 4,25879531807]
Těžiště: T[5,07657575758; 1,41993177269]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; -1,23329867843]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 1,87334993995]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 147,84327913907° = 147°50'34″ = 0,56112491685 rad
∠ B' = β' = 134,79328337024° = 134°47'34″ = 0,78990138974 rad
∠ C' = γ' = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,79113295877 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 6 b = 8 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 6 + 8 + 11 = 25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 6) (12, 5 - 8) (12, 5 - 11) S = 548, 44 = 23, 42

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{6} = 7, 81 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{8} = 5, 85 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 4 2}{1 1} = 4, 26

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 1 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 1}) = 32 ° 9^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 1}) = 45 ° 1 2^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 9^{'} 26 " - 45 ° 1 2^{'} 26 " = 102 ° 3 8^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 4 2}{1 2 , 5} = 1, 87

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 8 7 3 \cdot 1 2 , 5} = 5, 64

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 9, 138 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 7, 906 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 4, 444

Vypočítat další trojúhelník