Trojúhelník 6 8 13
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 6 b = 8 c = 13Obsah trojúhelníku: S = 16,6866446596
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 18,71769506574° = 18°43'1″ = 0,32766724149 rad
Úhel ∠ B = β = 25,33216750167° = 25°19'54″ = 0,44221211341 rad
Úhel ∠ C = γ = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 2,37327991046 rad
Výška trojúhelníku: va = 5,56221488653
Výška trojúhelníku: vb = 4,1721611649
Výška trojúhelníku: vc = 2,56771456301
Těžnice: ta = 10,36882206767
Těžnice: tb = 9,30105376189
Těžnice: tc = 2,78438821814
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,23660330812
Poloměr opsané kružnice: R = 9,34989047595
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[5,42330769231; 2,56771456301]
Těžiště: T[6,1411025641; 0,856571521]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -6,72195252959]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 1,23660330812]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,28330493426° = 161°16'59″ = 0,32766724149 rad
∠ B' = β' = 154,66883249833° = 154°40'6″ = 0,44221211341 rad
∠ C' = γ' = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 2,37327991046 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=8 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+8+13=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−6)(13,5−8)(13,5−13) S=278,44=16,69
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 16,69=5,56 vb=b2 S=82⋅ 16,69=4,17 vc=c2 S=132⋅ 16,69=2,57
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1382+132−62)=18°43′1" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1362+132−82)=25°19′54" γ=180°−α−β=180°−18°43′1"−25°19′54"=135°57′5"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,516,69=1,24
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,236⋅ 13,56⋅ 8⋅ 13=9,35
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 132−62=10,368 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 62−82=9,301 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 82−132=2,784
Vypočítat další trojúhelník