Trojúhelník 6 8 9
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 6 b = 8 c = 9Obsah trojúhelníku: S = 23,52552523897
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Úhel ∠ A = α = 40,80444376906° = 40°48'16″ = 0,71221717871 rad
Úhel ∠ B = β = 60,61107200521° = 60°36'39″ = 1,05878566269 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,58548422573° = 78°35'5″ = 1,37215642395 rad
Výška trojúhelníku: va = 7,84217507966
Výška trojúhelníku: vb = 5,88113130974
Výška trojúhelníku: vc = 5,22878338644
Těžnice: ta = 7,96986887253
Těžnice: tb = 6,51992024052
Těžnice: tc = 5,45443560573
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,04656741208
Poloměr opsané kružnice: R = 4,59108115335
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[2,94444444444; 5,22878338644]
Těžiště: T[3,98114814815; 1,74326112881]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 0,9098598116]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,04656741208]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,19655623094° = 139°11'44″ = 0,71221717871 rad
∠ B' = β' = 119,38992799479° = 119°23'21″ = 1,05878566269 rad
∠ C' = γ' = 101,41551577427° = 101°24'55″ = 1,37215642395 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=6 b=8 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=6+8+9=23
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−6)(11,5−8)(11,5−9) S=553,44=23,53
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 23,53=7,84 vb=b2 S=82⋅ 23,53=5,88 vc=c2 S=92⋅ 23,53=5,23
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−62)=40°48′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 962+92−82)=60°36′39" γ=180°−α−β=180°−40°48′16"−60°36′39"=78°35′5"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=11,523,53=2,05
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,046⋅ 11,56⋅ 8⋅ 9=4,59
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−62=7,969 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 62−82=6,519 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 82−92=5,454
Vypočítat další trojúhelník