Trojúhelník 7 10 10

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 7 b = 10 c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 32,78662394916
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Úhel ∠ A = α = 40,97546302294° = 40°58'29″ = 0,71551422073 rad
Úhel ∠ B = β = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,21332252231 rad
Úhel ∠ C = γ = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,21332252231 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 9,36774969976
Výška trojúhelníku: v_b = 6,55772478983
Výška trojúhelníku: v_c = 6,55772478983

Těžnice: t_a = 9,36774969976
Těžnice: t_b = 7,03656236397
Těžnice: t_c = 7,03656236397

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,42986103327
Poloměr opsané kružnice: R = 5,33876051268

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[2,45; 6,55772478983]
Těžiště: T[4,15; 2,18657492994]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 1,86881617944]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 2,42986103327]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,02553697706° = 139°1'31″ = 0,71551422073 rad
∠ B' = β' = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,21332252231 rad
∠ C' = γ' = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,21332252231 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 10 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 10 + 10 = 27

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 7) (13, 5 - 10) (13, 5 - 10) S = 1074, 94 = 32, 79

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 2 , 7 9}{7} = 9, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 2 , 7 9}{1 0} = 6, 56 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 2 , 7 9}{1 0} = 6, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 0}) = 40 ° 5 8^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 0}) = 69 ° 3 0^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 5 8^{'} 29 " - 69 ° 3 0^{'} 46 " = 69 ° 3 0^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 2 , 7 9}{1 3 , 5} = 2, 43

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 0 \cdot 1 0}{4 \cdot 2 , 4 2 9 \cdot 1 3 , 5} = 5, 34

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 9, 367 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 036 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 036

Vypočítat další trojúhelník