Trojúhelník 7 10 11

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 7 b = 10 c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 34,2932856399
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 38,57326508222° = 38°34'22″ = 0,67332197581 rad
Úhel ∠ B = β = 62,96443082106° = 62°57'52″ = 1,09989344895 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 9,79879589711
Výška trojúhelníku: v_b = 6,85985712798
Výška trojúhelníku: v_c = 6,23550647998

Těžnice: t_a = 9,91221138008
Těžnice: t_b = 7,74659666924
Těžnice: t_c = 6,65220673478

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,44994897428
Poloměr opsané kružnice: R = 5,61334139939

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[3,18218181818; 6,23550647998]
Těžiště: T[4,72772727273; 2,07883549333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,12326827988]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,44994897428]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,42773491778° = 141°25'38″ = 0,67332197581 rad
∠ B' = β' = 117,03656917894° = 117°2'8″ = 1,09989344895 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 10 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 10 + 11 = 28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8}{2} = 14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14 (14 - 7) (14 - 10) (14 - 11) S = 1176 = 34, 29

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 9}{7} = 9, 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 9}{1 0} = 6, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 9}{1 1} = 6, 24

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 38 ° 3 4^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 1}) = 62 ° 5 7^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 3 4^{'} 22 " - 62 ° 5 7^{'} 52 " = 78 ° 2 7^{'} 47 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 2 9}{1 4} = 2, 45

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 4 4 9 \cdot 1 4} = 5, 61

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 9, 912 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 746 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 6, 652

Vypočítat další trojúhelník