Trojúhelník 7 10 12

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 7 b = 10 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 34,97876714491
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Úhel ∠ B = β = 56,38876254015° = 56°23'15″ = 0,98441497206 rad
Úhel ∠ C = γ = 87,95332869023° = 87°57'12″ = 1,53550744444 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 9,9943620414
Výška trojúhelníku: v_b = 6,99655342898
Výška trojúhelníku: v_c = 5,83296119082

Těžnice: t_a = 10,47661634199
Těžnice: t_b = 8,45657672626
Těžnice: t_c = 6,2054836823

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,41222532034
Poloměr opsané kružnice: R = 6,00438301951

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3,875; 5,83296119082]
Těžiště: T[5,29216666667; 1,94332039694]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 0,2144422507]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,41222532034]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ B' = β' = 123,61223745985° = 123°36'45″ = 0,98441497206 rad
∠ C' = γ' = 92,04767130977° = 92°2'48″ = 1,53550744444 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 10 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 10 + 12 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 7) (14, 5 - 10) (14, 5 - 12) S = 1223, 44 = 34, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 9 8}{7} = 9, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 9 8}{1 0} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 9 8}{1 2} = 5, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 35 ° 3 9^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 2}) = 56 ° 2 3^{'} 15 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 3 9^{'} 33 " - 56 ° 2 3^{'} 15 " = 87 ° 5 7^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 9 8}{1 4 , 5} = 2, 41

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 0 \cdot 1 2}{4 \cdot 2 , 4 1 2 \cdot 1 4 , 5} = 6

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 10, 476 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 8, 456 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 6, 205

Vypočítat další trojúhelník