Trojúhelník 7 8 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 7 b = 8 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 26,9066086672
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Úhel ∠ A = α = 34,09333908114° = 34°5'36″ = 0,59550419228 rad
Úhel ∠ B = β = 39,83881498056° = 39°50'17″ = 0,6955306882 rad
Úhel ∠ C = γ = 106,0688459383° = 106°4'6″ = 1,85112438488 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 7,68774533349
Výška trojúhelníku: v_b = 6,7276521668
Výška trojúhelníku: v_c = 4,48443477787

Těžnice: t_a = 9,57986220303
Těžnice: t_b = 8,97221792225
Těžnice: t_c = 4,52876925691

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,99330434572
Poloměr opsané kružnice: R = 6,24439403414

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[5,375; 4,48443477787]
Těžiště: T[5,79216666667; 1,49547825929]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -1,72882334873]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 1,99330434572]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,90766091886° = 145°54'24″ = 0,59550419228 rad
∠ B' = β' = 140,16218501944° = 140°9'43″ = 0,6955306882 rad
∠ C' = γ' = 73,9321540617° = 73°55'54″ = 1,85112438488 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 8 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 8 + 12 = 27

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 7) (13, 5 - 8) (13, 5 - 12) S = 723, 94 = 26, 91

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 , 9 1}{7} = 7, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 , 9 1}{8} = 6, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 , 9 1}{1 2} = 4, 48

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2}) = 34 ° 5^{'} 36 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 2}) = 39 ° 5 0^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 5^{'} 36 " - 39 ° 5 0^{'} 17 " = 106 ° 4^{'} 6 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 , 9 1}{1 3 , 5} = 1, 99

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 9 9 3 \cdot 1 3 , 5} = 6, 24

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 9, 579 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 8, 972 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 4, 528

Vypočítat další trojúhelník