Trojúhelník 7 8 14

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 7 b = 8 c = 14

Obsah trojúhelníku: S = 18.87999335105
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 19,61659069161° = 19°36'57″ = 0,34223621615 rad
Úhel ∠ B = β = 22,56113280909° = 22°33'41″ = 0,39437694588 rad
Úhel ∠ C = γ = 137,82327649929° = 137°49'22″ = 2,40554610333 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 5,37114095744
Výška trojúhelníku: v_b = 4.76999833776
Výška trojúhelníku: v_c = 2,68657047872

Těžnice: t_a = 10,85112672071
Těžnice: t_b = 10,32198837203
Těžnice: t_c = 2,73986127875

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,29765471387
Poloměr opsané kružnice: R = 10,42655687867

Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[6,46442857143; 2,68657047872]
Těžiště: T[6,82114285714; 0,89552349291]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; -7,72660911545]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 1,29765471387]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,38440930839° = 160°23'3″ = 0,34223621615 rad
∠ B' = β' = 157,43986719091° = 157°26'19″ = 0,39437694588 rad
∠ C' = γ' = 42,17772350071° = 42°10'38″ = 2,40554610333 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 8 c = 14

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 8 + 14 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 7) (14, 5 - 8) (14, 5 - 14) S = 353, 44 = 18, 8

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 , 8}{7} = 5, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 , 8}{8} = 4, 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 , 8}{1 4} = 2, 69

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 4}) = 19 ° 3 6^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 4}) = 22 ° 3 3^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 3 6^{'} 57 " - 22 ° 3 3^{'} 41 " = 137 ° 4 9^{'} 22 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 , 8}{1 4 , 5} = 1, 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 1 4}{4 \cdot 1 , 2 9 7 \cdot 1 4 , 5} = 10, 43

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 10, 851 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 10, 32 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 2, 739

Vypočítat další trojúhelník