Trojúhelník 7 9 10

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 7
b = 9
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 30,59441170816
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 42,83334280661° = 42°50' = 0,74875843497 rad
Úhel ∠ B = β = 60,9410718932° = 60°56'27″ = 1,06436161939 rad
Úhel ∠ C = γ = 76,2265853002° = 76°13'33″ = 1,333039211 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,7411176309
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,79986926848
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,11988234163

Těžnice: t_a = 8,84659030065
Těžnice: t_b = 7,36554599313
Těžnice: t_c = 6,32545553203

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,35333936217
Poloměr opsané kružnice: R = 5,14880485474

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[3,4; 6,11988234163]
Těžiště: T[4,46766666667; 2,04396078054]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 1,22657258446]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,35333936217]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 137,16765719339° = 137°10' = 0,74875843497 rad
∠ B' = β' = 119,0599281068° = 119°3'33″ = 1,06436161939 rad
∠ C' = γ' = 103,7744146998° = 103°46'27″ = 1,333039211 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 7 b = 9 c = 10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 7 + 9 + 10 = 26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 7) (13 - 9) (13 - 10) S = 936 = 30, 59

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 0 , 5 9}{7} = 8, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 0 , 5 9}{9} = 6, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 0 , 5 9}{1 0} = 6, 12

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 42 ° 5 0^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 0}) = 60 ° 5 6^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 5 0^{'} - 60 ° 5 6^{'} 27 " = 76 ° 1 3^{'} 33 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 0 , 5 9}{1 3} = 2, 35

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 2 , 3 5 3 \cdot 1 3} = 5, 15

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 8, 846 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 7, 365 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 6, 325

Vypočítat další trojúhelník