Trojúhelník 7 9 11
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 7 b = 9 c = 11Obsah trojúhelníku: S = 31,42195400985
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 39,40105687537° = 39°24'2″ = 0,68876696519 rad
Úhel ∠ B = β = 54,69554750044° = 54°41'44″ = 0,95546161248 rad
Úhel ∠ C = γ = 85,90439562418° = 85°54'14″ = 1,49993068769 rad
Výška trojúhelníku: va = 8,97770114567
Výška trojúhelníku: vb = 6,98221200219
Výška trojúhelníku: vc = 5,71326436543
Těžnice: ta = 9,42107218407
Těžnice: tb = 8,04767384697
Těžnice: tc = 5,89549130613
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,32773733406
Poloměr opsané kružnice: R = 5,51440845301
Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[4,04554545455; 5,71326436543]
Těžiště: T[5,01551515152; 1,90442145514]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 0,39438631807]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,32773733406]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 140,59994312463° = 140°35'58″ = 0,68876696519 rad
∠ B' = β' = 125,30545249956° = 125°18'16″ = 0,95546161248 rad
∠ C' = γ' = 94,09660437582° = 94°5'46″ = 1,49993068769 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=9 c=11
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=7+9+11=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−7)(13,5−9)(13,5−11) S=987,19=31,42
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 31,42=8,98 vb=b2 S=92⋅ 31,42=6,98 vc=c2 S=112⋅ 31,42=5,71
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−72)=39°24′2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−92)=54°41′44" γ=180°−α−β=180°−39°24′2"−54°41′44"=85°54′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,531,42=2,33
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,327⋅ 13,57⋅ 9⋅ 11=5,51
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−72=9,421 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 72−92=8,047 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 92−112=5,895
Vypočítat další trojúhelník