Trojúhelník 7 9 12




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 7   b = 9   c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 31,3054951685
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 35,43109446873° = 35°25'51″ = 0,61883866419 rad
Úhel ∠ B = β = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad

Výška trojúhelníku: va = 8,944427191
Výška trojúhelníku: vb = 6,957665593
Výška trojúhelníku: vc = 5,21774919475

Těžnice: ta = 10,01224921973
Těžnice: tb = 8,73221245983
Těžnice: tc = 5,38551648071

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,23660679775
Poloměr opsané kružnice: R = 6,03773835392

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[4,66766666667; 5,21774919475]
Těžiště: T[5,55655555556; 1,73991639825]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -0,67108203932]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,23660679775]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,56990553127° = 144°34'9″ = 0,61883866419 rad
∠ B' = β' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=7 b=9 c=12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=7+9+12=28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=228=14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14(147)(149)(1412) S=980=31,3

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=72 31,3=8,94 vb=b2 S=92 31,3=6,96 vc=c2 S=122 31,3=5,22

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1292+12272)=35°2551"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 7 1272+12292)=48°1123" γ=180°αβ=180°35°2551"48°1123"=96°2246"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1431,3=2,24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 2,236 147 9 12=6,04

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 12272=10,012 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 7292=8,732 tc=22a2+2b2c2=22 72+2 92122=5,385

Vypočítat další trojúhelník