Trojúhelník 8 10 11

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 8 b = 10 c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 38,52883986171
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 44,46884446032° = 44°28'6″ = 0,77661207716 rad
Úhel ∠ B = β = 61,12114535039° = 61°7'17″ = 1,06767706072 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,41101018929° = 74°24'36″ = 1,29987012748 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 9,63220996543
Výška trojúhelníku: v_b = 7,70656797234
Výška trojúhelníku: v_c = 7,00551633849

Těžnice: t_a = 9,72111110476
Těžnice: t_b = 8,21658383626
Těžnice: t_c = 7,1943747285

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,65771309391
Poloměr opsané kružnice: R = 5,7110073813

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[3,86436363636; 7,00551633849]
Těžiště: T[4,95545454545; 2,33550544616]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,53545823372]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,65771309391]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,53215553969° = 135°31'54″ = 0,77661207716 rad
∠ B' = β' = 118,87985464961° = 118°52'43″ = 1,06767706072 rad
∠ C' = γ' = 105,59898981071° = 105°35'24″ = 1,29987012748 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 10 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 10 + 11 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 8) (14, 5 - 10) (14, 5 - 11) S = 1484, 44 = 38, 53

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{8} = 9, 63 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{1 0} = 7, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{1 1} = 7, 01

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 44 ° 2 8^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 1}) = 61 ° 7^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 8^{'} 6 " - 61 ° 7^{'} 17 " = 74 ° 2 4^{'} 36 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 , 5 3}{1 4 , 5} = 2, 66

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 6 5 7 \cdot 1 4 , 5} = 5, 71

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 9, 721 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 8, 216 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 7, 194

Vypočítat další trojúhelník