Trojúhelník 8 8 9
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 8
b = 8
c = 9
Obsah trojúhelníku: S = 29,76547022495
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Úhel ∠ A = α = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Úhel ∠ B = β = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Úhel ∠ C = γ = 68,45877326556° = 68°27'28″ = 1,19548128333 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,44111755624
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,44111755624
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,61443782777
Těžnice: ta = 7,51766481892
Těžnice: tb = 7,51766481892
Těžnice: tc = 6,61443782777
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,381117618
Poloměr opsané kružnice: R = 4,83879452545
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[4,5; 6,61443782777]
Těžiště: T[4,5; 2,20547927592]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 1,77664330231]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,381117618]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ B' = β' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ C' = γ' = 111,54222673444° = 111°32'32″ = 1,19548128333 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=8 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+8+9=25
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−8)(12,5−8)(12,5−9) S=885,94=29,76
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 29,76=7,44 vb=b2 S=82⋅ 29,76=7,44 vc=c2 S=92⋅ 29,76=6,61
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−82)=55°46′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−82)=55°46′16" γ=180°−α−β=180°−55°46′16"−55°46′16"=68°27′28"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=12,529,76=2,38
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,381⋅ 12,58⋅ 8⋅ 9=4,84
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−82=7,517 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 82−82=7,517 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−92=6,614
Vypočítat další trojúhelník