Trojúhelník 8 9 10
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 8 b = 9 c = 10Obsah trojúhelníku: S = 34,19770393455
Obvod trojúhelníku: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Úhel ∠ A = α = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Úhel ∠ B = β = 58,75215587378° = 58°45'6″ = 1,02554081407 rad
Úhel ∠ C = γ = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,25329726229 rad
Výška trojúhelníku: va = 8,54992598364
Výška trojúhelníku: vb = 7,59993420768
Výška trojúhelníku: vc = 6,83994078691
Těžnice: ta = 8,63113382508
Těžnice: tb = 7,85881168228
Těžnice: tc = 6,8922024376
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,53331140256
Poloměr opsané kružnice: R = 5,26436135597
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[4,15; 6,83994078691]
Těžiště: T[4,71766666667; 2,2879802623]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 1,64548792374]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,53331140256]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ B' = β' = 121,24884412622° = 121°14'54″ = 1,02554081407 rad
∠ C' = γ' = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,25329726229 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=9 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=8+9+10=27
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−8)(13,5−9)(13,5−10) S=1169,44=34,2
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 34,2=8,55 vb=b2 S=92⋅ 34,2=7,6 vc=c2 S=102⋅ 34,2=6,84
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−82)=49°27′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−92)=58°45′6" γ=180°−α−β=180°−49°27′30"−58°45′6"=71°47′24"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,534,2=2,53
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,533⋅ 13,58⋅ 9⋅ 10=5,26
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 102−82=8,631 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 82−92=7,858 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 92−102=6,892
Vypočítat další trojúhelník