Trojúhelník 8 9 12

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 8 b = 9 c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 35,9999131934
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 41,80990791939° = 41°48'33″ = 0,73297060892 rad
Úhel ∠ B = β = 48,58988113619° = 48°35'20″ = 0,84880347379 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,60221094442° = 89°36'8″ = 1,56438518265 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 98,9997829835
Výška trojúhelníku: v_b = 87,9998070964
Výška trojúhelníku: v_c = 65,9998553223

Těžnice: t_a = 9,82334413522
Těžnice: t_b = 9,15215026089
Těžnice: t_c = 6,04215229868

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,48326987541
Poloměr opsané kružnice: R = 66,0001446812

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[5,29216666667; 65,9998553223]
Těžiště: T[5,76438888889; 21,9999517741]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 0,04216676714]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 2,48326987541]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,19109208061° = 138°11'27″ = 0,73297060892 rad
∠ B' = β' = 131,41111886381° = 131°24'40″ = 0,84880347379 rad
∠ C' = γ' = 90,39878905558° = 90°23'52″ = 1,56438518265 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 9 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 9 + 12 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 8) (14, 5 - 9) (14, 5 - 12) S = 1295, 94 = 36

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6}{8} = 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6}{9} = 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6}{1 2} = 6

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 2}) = 41 ° 4 8^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2}) = 48 ° 3 5^{'} 20 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 4 8^{'} 33 " - 48 ° 3 5^{'} 20 " = 89 ° 3 6^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6}{1 4 , 5} = 2, 48

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 1 2}{4 \cdot 2 , 4 8 3 \cdot 1 4 , 5} = 6

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 9, 823 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 9, 152 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 6, 042

Vypočítat další trojúhelník