Trojúhelník 8 9 9




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Strany: a = 8   b = 9   c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 32,24990309932
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 52,77655999225° = 52°46'32″ = 0,92111079834 rad
Úhel ∠ B = β = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad
Úhel ∠ C = γ = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad

Výška trojúhelníku: va = 8,06222577483
Výška trojúhelníku: vb = 7,16664513318
Výška trojúhelníku: vc = 7,16664513318

Těžnice: ta = 8,06222577483
Těžnice: tb = 7,22884161474
Těžnice: tc = 7,22884161474

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,48106946918
Poloměr opsané kružnice: R = 5,02334067509

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[3,55655555556; 7,16664513318]
Těžiště: T[4,18551851852; 2,38988171106]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 2,23326252226]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 2,48106946918]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 127,22444000775° = 127°13'28″ = 0,92111079834 rad
∠ B' = β' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad
∠ C' = γ' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=8 b=9 c=9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=8+9+9=26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=226=13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=13(138)(139)(139) S=1040=32,25

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=82 32,25=8,06 vb=b2 S=92 32,25=7,17 vc=c2 S=92 32,25=7,17

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 992+9282)=52°4632"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 982+9292)=63°3644" γ=180°αβ=180°52°4632"63°3644"=63°3644"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1332,25=2,48

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 2,481 138 9 9=5,02

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 9282=8,062 tb=22c2+2a2b2=22 92+2 8292=7,228 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 9292=7,228

Vypočítat další trojúhelník